每日一题[3081]焦点三角形

己知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{6}=1$，$F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点，$O$ 为原点，$P$ 为椭圆上一点，$\cos \angle F_{1} P F_{2}=\dfrac{3}{5}$，则 $|P O|=$ （       ）

A．$\dfrac{2}{5}$

B．$\dfrac{\sqrt{30}}{2}$

C．$\dfrac{3}{5}$

D．$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$

答案    B．

解析    根据椭圆的焦点三角形面积公式的相关推论，有

$$|PO|^2=a^2-b^2\tan^2\dfrac {\theta}2=a^2-b^2\cdot\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}=9-6\cdot \dfrac 14=\dfrac{15}2,$$ 因此 $|PO|=\dfrac{\sqrt{30}}2$．

备注    根据平行四边形的性质，有

$$\left(2|PO|\right)^2+|F_1F_2|^2=2|PF_1|^2+2|PF_2|^2,$$ 于是 $$\left(2|PO|\right)^2+|F_1F_2|^2=2\left(|PF_1|+|PF_2|\right)^2-8\cdot \dfrac{\dfrac 12|PF_1|\cdot |PF_2|\cdot \sin\angle F_1PF_2}{\sin\angle F_1PF_2},$$ 将 $|PF_1|+|PF_2|=2a$，$\dfrac 12|PF_1|\cdot |PF_2|\cdot \sin\angle F_1PF_2=b^2\tan\dfrac{\theta}2$ 代入化简即得．