每日一题[3050]纸老虎

已知 $x^{\frac{1}{x^{2}}}-a=0$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 上有两个不相等的实数解，则实数 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(0, \dfrac{1}{2 \mathrm{e}}\right]$

B．$\left(0, \dfrac{1}{2 \mathrm{e}}\right)$

C．$\left(1, {\rm e}^{\frac{1}{2 {\rm e}}}\right]$

D．$\left(1, \mathrm{e}^{\frac{1}{2 {\rm e}}}\right)$

答案    D．

解析    题中方程即 $$\dfrac{\ln x}{x^2}=\ln a,$$ 设 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$，则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3},$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&\left(0,{\rm e}^{\frac 12}\right)&{\rm e}^{\frac 12}&\left({\rm e}^{\frac 12},+\infty\right)&+\infty\\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{2{\rm e}}&\searrow&0\\ \hline\end{array}$$ 因此 $\ln a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{2{\rm e}}\right)$ 进而实数 $a$ 的取值范围是 $\left(1,{\rm e}^{\frac{1}{2{\rm e}}}\right)$．