每日一题[3038]开尔文胞体

$2008$ 年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔 $\cdot$ 弗兰泡沬，威尔 $\cdot$ 弗兰泡沬是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面开尔文胞体体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有 $24$ 个顶点，且棱长为 $ 1 $，则该多面体的表面积为_______．

答案    $12\sqrt 3+6$，

解析    设多面体由 $x$ 个正方形和 $y$ 个正六边形构成，分别考虑顶点数和从一个顶点出发的三条棱的来源（来自正方形的为 $2\cdot \dfrac 12=1$ 条，来自正六边形的又 $2\cdot \dfrac 12+1=2$ 条），有\[\begin{cases} 4x+6y=3\cdot 24,\\ \dfrac{4x}{6y}=\dfrac{1}{2},\end{cases}\iff \begin{cases} x=6,\\ y=8,\end{cases}\]因此该多面体的表面积为 $6\cdot 1+8\cdot \dfrac{3\sqrt 3}2=12\sqrt 3+6$．