每日一题[3007]层峦叠嶂

已知直线 $y=a$ 与曲线 $y=\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}$ 相交于 $A , B$ 两点，与曲线 $y=\dfrac{\ln x}{x}$ 相交于 $B , C$ 两点，$A , B , C$ 的横坐标分别为 $x_1, x_2 , x_3$，则（       ）

A．$x_2=a \mathrm{e}^{x_2}$

B．$x_2=\ln x_1$

C．$x_3=\mathrm{e}^{x_2}$

D．$x_1 x_3=x_2^2$

答案    ACD．

解析    根据题意，有

$$\dfrac{x_1}{{\rm e}^{x_1}}=\dfrac{x_2}{{\rm e}^{x_2}}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=\dfrac{\ln x_3}{x_3}=a,$$ 且 $0<x_1<1<x_2<{\rm e}<x_3$．

注意到

$$\dfrac{x_2}{{\rm e}^{x_2}}=\dfrac{\ln x_1}{x_1}\implies \dfrac{\ln{\rm e}^{x_1}}{{\rm e}^{x_1}}=\dfrac{\ln x_2}{x_2},$$ 且 ${\rm e}^{x_1},x_2\in (0,{\rm e})$，于是 $${\rm e}^{x_1}=x_2,$$ 类似地，可得 $${\rm e}^{x_2}=x_3,$$ 因此选项 $\boxed{A}$ 正确，选项 $\boxed{B}$ 错误，选项 $\boxed{C}$ 正确．对于选项 $\boxed{D}$，有 $$x_1x_3=\ln x_2\cdot {\rm e}^{x_2}=ax_2\cdot \dfrac{x_2}a=x_2^2,$$ 选项正确．

综上所述，正确的选项有 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．