每日一题[2952]参数转化

已知函数 $f(x)=\ln x+x+\dfrac{a}{x}$（$a \in \mathbb R$）．

1、若函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围．

2、若函数 $g(x)=x f(x)-(a+1) x^2-x$ 有两个不同的极值点，记作 $x_1, x_2$，且 $x_1<x_2$，证明 $x_1 x_2^2>{\rm e}^3$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{x^2+x-a}{x^2},$$ 根据题意，有 $$\forall x\geqslant 1,~x^2+x-a\geqslant 0,$$ 于是 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$．

2、函数 $g(x)=x\ln x-ax^2-x+a$，于是其导函数 $$g'(x)=\ln x-2ax,$$ 于是 $$\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=2a,$$ 设 $\dfrac{x_2}{x_1}=t$（$t>1$），则 $$\ln x_1=\dfrac{\ln t}{t-1},\quad \ln x_2=\dfrac{t\ln t}{t-1},$$ 因此 $$\ln\dfrac{{x_1x_2^2}}{{\rm e}^3}=\ln x_1+2\ln x_2-3=\dfrac{(1+2t)\ln t}{t-1}-3,$$ 只需要证明 $$\forall t>1,~\ln t-\dfrac{3(t-1)}{1+2t}>0,$$ 而 $$\ln t-\dfrac{3(t-1)}{1+2t}>\dfrac{2(t-1)}{1+t}-\dfrac{3(t-1)}{1+2t}=\dfrac{(t-1)^2}{(1+t)(1+2t)}>0,$$ 命题得证．