每日一题[2801]代数计算

已知事件“在矩形 $ABCD$ 的边 $CD$ 上随机取一点 $P$，使 $\triangle APB$ 的最大边是 $AB$”发生的概率为 $\dfrac{1}{2}$，则 $\dfrac{AD}{AB} =$（       ）

A．$\dfrac{1}{2}$

B．$\dfrac{1}{4}$

C．$\dfrac{\sqrt 3 }{2}$

D．$\dfrac{\sqrt 7 }{4}$

答案    D．

解析    本题考查随机事件的概率计算（几何概型），合理引入恰当的等概参数表达条件是解决问题的关键． 不妨设 $AB=1$，$AD=m$，$PD=x$，其中 $x\in [0,1]$，则

$$AB^2=1,\quad PA^2=x^2+m^2,\quad PB^2=(1-x)^2+m^2.$$

若 $\triangle APB$ 的最大边为 $AB$，则

$$\begin{cases} x^2+m^2<1,\\ (1-x)^2+m^2<1,\end{cases}\iff 1-\sqrt{1-m^2}<x<\sqrt{1-m^2},$$ 因此题中概率为 $$\dfrac{\sqrt{1-m^2}-\left(1-\sqrt{1-m^2}\right)}{1-0}=2\sqrt{1-m^2}-1=\dfrac 12,$$ 因此 $m=\dfrac{\sqrt 7}4$，也即 $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{\sqrt 7}4$．