在复平面内,复数 $z_{1}$ 终点在 $1+{\rm i}$ 和 $1+a{\rm i}$ 表示两点连成的线段上移动,$\left|z_{2}\right|=1$,若 $z=z_{1}+z_{2}$ 在复平面上表示的点围成的区域 $\Gamma$ 的面积为 $\pi+4$,则 $a$ 的可能值为( )
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
答案 BD.
解析 如图,设 $P(1,1)$,$Q(1,a)$,则 $\Gamma$ 是半径为 $1$ 的圆的圆心从 $P$ 移动到 $Q$ 时其内部(包含边界)划过的区域,设 $|PQ|=d$,则其面积为 $\pi+2d$,于是 $d=2$,进而 $a$ 的可能值为 $3,-1$.