每日一题[2718]移动光源

在复平面内，复数 $z_{1}$ 终点在 $1+{\rm i}$ 和 $1+a{\rm i}$ 表示两点连成的线段上移动，$\left|z_{2}\right|=1$，若 $z=z_{1}+z_{2}$ 在复平面上表示的点围成的区域 $\Gamma$ 的面积为 $\pi+4$，则 $a$ 的可能值为（      ）

A．$-3$

B．$-1$

C．$1$

D．$3$

答案    BD．

解析    如图，设 $P(1,1)$，$Q(1,a)$，则 $\Gamma$ 是半径为 $1$ 的圆的圆心从 $P$ 移动到 $Q$ 时其内部（包含边界）划过的区域，设 $|PQ|=d$，则其面积为 $\pi+2d$，于是 $d=2$，进而 $a$ 的可能值为 $3,-1$．