每日一题[2717]模与分解

已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，则 $\left|(z-2)(z+1)^{2}\right|$ 的最大值为（       ）

A．$2\sqrt 6$

B．$5$

C．$3\sqrt 3$

D．$2\sqrt 7$

答案    C．

解析    若 $z=(\theta:r)$，$m\in\mathbb R$，则

$$|z-m|=\sqrt{(r\cos\theta-m)^2+(r\sin\theta)^2}=\sqrt{m^2+r^2-2mr\cos\theta},$$ 因此 $$\begin{split} \left|(z-2)(z+1)^{2}\right|&=\sqrt{(5-4\cos\theta)(2+2\cos\theta)^2}\\ &\leqslant \sqrt{\left(\dfrac{(5-4\cos\theta)+2(2+2\cos\theta)}{3}\right)^3}\\ &\leqslant 3\sqrt 3,\end{split}$$ 等号当 $\cos\theta=\dfrac 12$ 时取得，因此所求最大值为 $3\sqrt 3$．