每日一题[2641]百密一疏

数学家祖冲之曾给出圆周率 $\pi$ 的两个近似值：“约率”$\dfrac{22}{7}$ 与“密率”$\dfrac{355}{113}$．它们可用“调日法”得到：称小于 $3.1415926$ 的近似值为弱率，大于 $3.1415927$ 的近似值 强率．由 $\dfrac{3}{1}<\pi<\dfrac{4}{1}$，取 $3$ 为弱率，$4$ 为强率，得 $a_1=\dfrac{3+4}{1+1}=\dfrac{7}{2}$，故 $a_1$ 为强率，与 上一次的弱率 $3$ 计算得 $a_2=\dfrac{3+7}{1+2}=\dfrac{10}{3}$，故 $a_2$ 为强率，继续计算，$\cdots \cdots$．若某次得 到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推．已知 $a_m=\dfrac{22}{7}$，则 $m=$_______；$a_8=$_______．

答案    $6$；$\dfrac{47}{15}$．

解析    根据题意，有

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline a_n&\dfrac 72&\dfrac {10}3&\dfrac{13}4&\dfrac{16}{5}&\dfrac{19}{6}&\dfrac{22}{7}&\dfrac{25}{8}&\dfrac{47}{15} \\ \hline &\text{强}&\text{强}&\text{强}&\text{强}&\text{强}&\text{强}&\text{弱}&\text{弱} \\ \hline \end{array}$$

备注  接下来是 $\dfrac{69}{22}$（弱），$\dfrac{91}{29}$（弱），$\dfrac{113}{36}$（弱），$\dfrac{135}{43}$（弱），$\dfrac{157}{50}$（弱），$\dfrac{179}{57}$（弱），$\dfrac{201}{64}$（弱），$\dfrac{223}{71}$（弱），$\dfrac{245}{78}$（弱），$\dfrac{267}{85}$（弱），$\dfrac{289}{92}$（弱），$\dfrac{311}{99}$（弱），$\dfrac{333}{106}$（弱），$\dfrac{355}{113}$（强）．