每日一题[2554]正交投影

在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点 $A(1,0)$，$B(2,0)$，$C(4,0)$，$D(8,0)$，则这个正方形的面积可能为_______．

答案    $\dfrac{16}{17},\dfrac{36}5,\dfrac{196}{53}$．

解析    考虑正方形的边 $PQ,PS$，分别按两个互相垂直的方向投影在 $x$ 轴上得到 $P_1Q_1$ 和 $P_2Q_2$，则根据同角三角函数的关系式，有

$$\left(\dfrac{PQ}{P_1Q_1}\right)^2+\left(\dfrac{PS}{P_2Q_2}\right)^2=1\implies PQ^2=\dfrac{1}{\dfrac{1}{P_1Q_1^2}+\dfrac{1}{P_2Q_2^2}},$$ 而 $(P_1,Q_1,P_2,Q_2)$ 是 $(A,B,C,D)$ 的某个排列，因此所有可能的面积为 $$\dfrac{1}{\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{CD^2}},\dfrac{1}{\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{BD^2}},\dfrac{1}{\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{BC^2}},$$ 即 $\dfrac{16}{17},\dfrac{36}5,\dfrac{196}{53}$．