每日一题[2540]三角规划

平面区域 $S=\left\{(x,y)\mid x,y\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right],\sin^2x-\sin x\cdot \sin y+\sin^2y\leqslant \dfrac 34\right\}$ 的面积为_______．

答案    $\dfrac{\pi^2}6$．

解析    根据三角平方差以及积化和差公式，有

$$\sin^2x-\sin x\cdot \sin y+\sin^2y\leqslant \dfrac 34,$$ 即 $$1-\cos(x+y)\cos(x-y)+\dfrac {\cos(x+y)-\cos(x-y)}2\leqslant \dfrac 34,$$ 整理得 $$\left(\cos(x+y)+\dfrac 12\right)\left(\cos(x-y)-\dfrac 12\right)\geqslant 0,$$ 因此按 $x+y=\dfrac{2\pi}3$，$|x-y|=\dfrac{\pi}3$ 为分界线，将 $0\leqslant x,y\leqslant \dfrac{\pi}2$ 构成的正方形区域分割，可得 $S$ 为如图阴影区域，其面积为正方形面积的 $\dfrac 23$，为 $\dfrac{\pi^2}6$．