每日一题[2489]切线方程

在平面直角坐标系中，函数 $y=\dfrac{1}{|x|}$ 的图像为 $\Gamma$．设 $\Gamma$ 上的两点 $P,Q$ 满足：$P$ 在 第一象限，$Q$ 在第二象限，且直线 $P Q$ 与 $\Gamma$ 位于第二象限的部分相切于点 $Q$．求 $|P Q|$ 的最小值．

答案    $2$．

解析    设 $Q\left(-t,\dfrac 1t\right)$（$t>0$），则题中曲线在 $Q$ 处的切线方程为

$$\dfrac 1tx-ty+2=0,$$ 与 $y=\dfrac 1x$ 联立可得 $P\left((\sqrt 2-1)t,\dfrac{\sqrt 2+1}t\right)$，因此 $$|PQ|=\sqrt{2t^2+\dfrac{2}{t^2}}\geqslant 2,$$ 等号当 $t=1$ 时取得，因此所求最小值为 $2$．