每日一题[2430]递推与递归

若平面上有 $100$ 条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，则连通区域数量最大值为（       ）

A．$19902$

B．$20001$

C．$20101$

D．以上答案都不对

答案    C．

解析    设平面上有 $n$ 条二次曲线，这些曲线最多将平面分成 $a_n$ 个连通区域，那么考虑增加第 $n+1$ 条二次曲线，这条二次曲线至多被之前的 $n$ 条二次曲线所截，形成 $4n$ 个交点，这些交点将这条二次曲线分成若干个不重合的曲线段（或曲射线），每个曲线段都将原来的一个连通区域分成两个连通区域（相当于增加了一个连通区域）．根据二次曲线的种类不同，增加的连通区域如下：

$$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline \text{二次曲线}&\text{圆或椭圆}&\text{抛物线}&\text{双曲线或平行直线}&\text{相交直线}\\ \hline \text{增加的连通区域数}&4n&4n+1&4n+2&4n+3\\ \hline \end{array}$$ 因此初始曲线和每次新增的曲线都选择相交直线可以使得连通区域数量最大，此时 $$S_n=2n^2+n+1,$$ 特别的，当 $n=100$ 时，$S_{100}=20101$．