每日一题[2429]差之毫厘

已知 $S=\displaystyle\sum_{i=0}^{2021}\left[\frac{2^{i}}{7}\right]$，则 $S$ 的个位数字是（       ）

A．$4$

B．$5$

C．$7$

D．以上答案都不对

答案    $B$．

解析    注意到 $2^i$ 模 $7$ 的余数，有 $$\left[\dfrac{2^i}7\right]=\begin{cases}\dfrac{2^i-1}7,&i\equiv 0\pmod 3,\\ \dfrac{2^i-2}7,&i\equiv 1\pmod 3,\\ \dfrac{2^i-4}7,&i\equiv 2\pmod 3,\end{cases}$$ 因此 $$S=\sum_{i=0}^{2021}\dfrac{2^i}7-674\left(\dfrac 17+\dfrac 27+\dfrac 37\right)=\dfrac{2^{2022}-1}{7}-674,$$ 考虑到 $$\dfrac{2^{2022}-1}7=\dfrac{8^{674}-1}{7}=8^{673}+8^{672}+\cdots+1,$$ 注意到 $8$ 的方幂的尾数 $8,4,2,6$ 循环，因此 $$\dfrac{2^{2022}-1}7\equiv 1+(8+4+2+6)\cdot 168+8\equiv 9\pmod {10},$$ 从而 $S$ 的个数数字为 $5$．