每日一题[2412]两强相遇

若数列 $\{a_n\}$ 满足 $4^{a_{n+2}}+4^{1+a_{n+1}}-12\cdot 4^{a_n}=0$，则 $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_n}n=$ _______．

答案    $\dfrac 12$．

解析    设 $b_n=4^{a_n}$，则

$$b_{n+2}=-4b_{n+1}+12b_n,$$ 解特征方程 $x^2+4x-12=0$ 可得 $x=2,-6$，因此利用特征根法可得 $$b_n=A\cdot 2^n+B\cdot (-6)^n,$$ 考虑到 $b_n>0$，于是 $B=0$，从而 $$a_n={\log_4}b_n=\dfrac 12\left(n+{\log_2}A\right),$$ 进而 $$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_n}n=\dfrac 12.$$