每日一题[2386]切线方程

已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，上顶点为 $B$，离心率为 $\dfrac{2\sqrt 5}5$，且 $|BF|=\sqrt 5$．

1、求椭圆的方程．

2、直线 $l$ 与椭圆有唯一的公共点 $M$，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$．过 $N$ 与 $BF$ 垂直的直线交 $x$ 轴于点 $P$．若 $MP\parallel BF$，求直线 $l$ 的方程．

解析

1、根据题意，有 $a=|BF|=\sqrt 5$，离心率 $e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{2}{\sqrt 5}$，因此椭圆方程为 $\dfrac {x^2}5+y^2=1$．

2、设 $M(m,n)$，则

$$MN:\dfrac{mx}{5}+ny=1,$$ 于是 $N\left(0,\dfrac 1n\right)$ 且 $n>0$，进而由 $BF\perp PN$，可得 $P\left(-\dfrac1{2n},0\right)$，再由 $PM\parallel BF$，可得 $$\dfrac {n}{m+\dfrac{1}{2n}}=-\dfrac 12\iff 2mn+4n^2+1=0,$$ 结合 $\dfrac {m^2}5+n^2=1$，解得 $(m,n)=\left(-\dfrac5{\sqrt 6},\dfrac{1}{\sqrt 6}\right)$，因此直线 $l$ 的方程为 $x-y+\sqrt 6=0$．