每日一题[2341]入不敷出

设 $a_n=\dfrac{10}{1}\cdot \dfrac{11}{3}\cdots\dfrac{n+9}{2n-1}$，求证：数列 $\{a_n\}$ 有极限，并求出该极限．

答案    极限为$0$．

解析    考虑 $n$ 足够大的情形，设 $b_k=\dfrac{k+9}{2k-1}$，则

$$b_1>b_2>\cdots>b_{10}=1>b_{11}=\dfrac{20}{21}>b_{12}>\cdots>b_n,$$ 从而 $$0<a_n<A\cdot \left(\dfrac{20}{21}\right)^{n-10},$$ 右侧极限为 $0$，因此根据夹逼判敛准则，数列 $\{a_n\}$ 的极限存在且为 $0$．