设 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=3$，求证：\[\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\leqslant \dfrac a{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}.\]
解析 题中不等式即\[\sum_{\rm cyc}\dfrac{a^2b^3}{a^2b^2c^2}\geqslant \sum_{\rm cyc}\dfrac{ab^3}{abc}\iff\sum_{\rm cyc}a^2b^3\geqslant abc\sum_{\rm c}ab^3,\]齐次化，即\[(a+b+c)^2\sum_{\rm cyc}a^2b^3\geqslant 9abc\sum_{\rm cyc}ab^3,\]也即\[\sum_{\rm cyc}(a^4b^3+2a^3b^4+a^2b^5)+a^2b^2c^2\sum_{\rm cyc}a+2abc\sum_{\rm cyc}a^2b^2\geqslant 7abc\sum_{\rm cyc}ab^3.\]也即\[\sum_{\rm cyc}b(a-b)^2(ab-2c^2)^2+abc\sum_{\rm cyc}c(a+c)(a-b)^2\geqslant 0,\]命题得证．