每日一题[2282]分组求和

设 $m\in\mathbb N^{*}$，$\log_{2}m$ 的整数部分用 $F(m)$ 表示，则 $F(1)+F(2)+\cdots+F(1024)$ 的值是_______．

答案    $8204$．

解析    设 $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2^{n}-1}F(k)$，则

$$S_{n+1}-S_n=2^n\cdot n,$$ 于是 $$S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(2^k\cdot k\right)+S_1=(n-2)\cdot 2^n+2,$$ 从而所求代数式的值为 $S_{10}+10=8204$．