每日一题[2271]连分数

求一最简分数表示 $\pi=3.14159265\cdots$，使其误差小于 $0.000001$．

答案    $\dfrac{102573}{32650}$．

解析    取 $3.14159265$ 的连分数表示 $$[3; 7, 15, 1, 288, 1, 2, 1, 3, 1, 7],$$ 依次取截断近似值，可得 $$\begin{array}{c|cccc}\hline \text{截断位数}&1&2&3&4\\ \hline \text{分数}&\dfrac{22}7&\dfrac{333}{106}&\dfrac{355}{113}&\dfrac{102573}{32650}\\ \hline \text{小数}&3.142857143\cdots&3.141509434\cdots&3.141509434\cdots&3.141592649\cdots \\ \hline\end{array}$$ 因此取到 $[3;7,15,1,288]=\dfrac{102573}{32650}$ 即可．