每日一题[2303]消元求解

求方程组 $\begin{cases} x+y+z=3,\\ x^3+y^3+z^3=3,\end{cases}$ 的所有整数解．

答案    $(4,4,-5)$，$(4,-5,4)$，$(-5,4,4)$．

解析    消元，有

$$x^3+y^3+(3-x-y)^3=3\iff xy=\dfrac 8{x+y}+3(x+y)-9,$$ 于是 $$\begin{array}{c|cccccccc}\hline x+y&1&2&4&8&-1&-2&-4&-8\\ \hline xy&2&1&5&16&-20&-19&-23&-34\\ \hline \end{array}$$ 因此只有整数解 $(x,y)=(4,4),(4,-5)$，因此原方程组的整数解有 $(x,y,z)=(4,4,-5)_{\rm cyc}$．