每日一题[2224]方差计算

已知随机变量 $X$ 的分布列如下表所示

$$\begin{array}{c|c|c|c}\hline X&0&1&2\\ \hline P&a&b&c\\ \hline\end{array}$$ 若 $4a,b,c$ 成等比数列，则 $D(X)$ 的最大值为（       ）

A．$\dfrac 16$

B．$\dfrac 13$

C．$\dfrac 12$

D．$1$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$\begin{cases} a,b,c\geqslant 0,\\ a+b+c=1,\\ b^2=4ac,\end{cases}$$ 而 $$D(X)=E(X^2)-E^2(X)=(b+4c)-(b+2c)^2=b=2\sqrt{ac},$$ 于是 $$a+b+c=1\implies 1-D(X)=1-b=a+c\geqslant 2\sqrt{ac}=D(X),$$ 因此 $D(X)\leqslant \dfrac 12$，等号当 $(a,b,c)=\left(\dfrac 14,\dfrac 12,\dfrac 14\right)$ 时取得，所求最大值为 $\dfrac 12$．