已知随机变量 $X$ 的分布列如下表所示\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline X&0&1&2\\ \hline P&a&b&c\\ \hline\end{array}\]若 $4a,b,c$ 成等比数列，则 $D(X)$ 的最大值为（ ）
A．$\dfrac 16$
B．$\dfrac 13$
C．$\dfrac 12$
D．$1$
答案 C．
解析 根据题意，有\[\begin{cases} a,b,c\geqslant 0,\\ a+b+c=1,\\ b^2=4ac,\end{cases}\]而\[D(X)=E(X^2)-E^2(X)=(b+4c)-(b+2c)^2=b=2\sqrt{ac},\]于是\[a+b+c=1\implies 1-D(X)=1-b=a+c\geqslant 2\sqrt{ac}=D(X),\]因此 $D(X)\leqslant \dfrac 12$，等号当 $(a,b,c)=\left(\dfrac 14,\dfrac 12,\dfrac 14\right)$ 时取得，所求最大值为 $\dfrac 12$．