每日一题[2211]分钱

现将 $100$ 元钱分给 $25$ 个人，任意 $5$ 个人的钱之和不超过 $25$ 元，则钱最多的人有_____元．

A．$9$

B．$10$

C．$11$

D．前三个选项都不对

答案    B．

解析    不妨设 $25$ 个人分到的钱分别为 $a_1,a_2,\cdots,a_{25}$，且 $$a_1\geqslant a_2\geqslant \cdots\geqslant a_{25},\quad a_1+a_2+\cdots+a_{25}=100,$$ 根据题意，有 $$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\leqslant 25,$$ 即 $$a_6+a_7+\cdots+a_{25}\geqslant 75,$$ 进而将这 $20$ 个数按顺序每 $4$ 个数一组，可得 $$a_6+a_7+a_8+a_9\geqslant 15,$$ 又 $$a_1+a_6+a_7+a_8+a_9\leqslant 25,$$ 于是 $a_1\leqslant 10$．接下来构造 $a_1=10$ 的例子，取 $a_1=10$，其余所有数为 $\dfrac{15}4$ 即可． 综上所述，钱最多的人有 $10$ 元．