每日一题[2163]投影

已知 $C,D$ 在直线 $AB$ 的同侧，$\triangle ABC\cong \triangle BAD$，且 $AB=9$，$BC=AD=10$，$CA=DB=17$．设这两个三角形的公共部分的面积的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$ _______．

答案    $059$．

解析    作 $CE\perp AB$ 于 $E$，则 $E$ 在 $AB$ 的延长线上，设 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，作 $OF\perp AB$ 于 $F$，则 $F$ 为 $AB$ 的中点．

设 $BE=x$，$CE=y$，则在 $\triangle BCE$ 和 $\triangle ACE$ 中应用勾股定理，有

$$\begin{cases} x^2+y^2=10^2,\\ (9+x)^2+y^2=17^2,\end{cases}\iff \begin{cases} x=6,\\ y=8,\end{cases}$$ 于是 $$OF=CE\cdot \dfrac{AF}{AE}=8\cdot \dfrac{\dfrac 92}{15}=\dfrac{12}5,$$ 因此公共部分的面积为 $$[OAB]=\dfrac 12\cdot AB\cdot OF=\dfrac{54}5,$$ 所以 $m+n=54+5=59$．