每日一题[2154]替补队员

足球队有 $22$ 名队员，其中 $11$ 名球员进行比赛，而剩余的 $11$ 名作为替补上场．在比赛过程中，教练可以进行至多 $3$ 次的换人（比赛中的任何一名球员都可以由一名替补队员代替）．任何被换下场的队员都不能重新进入比赛，尽管进入比赛的替代队员稍后也可能会被换下场．此外不允许同时进行 $2$ 次换人．那么教练可以安排的所有可能的替补方案（包括队员以及替补顺序）的后三位数是_______．

答案    $122$．

解析    按替补的数量 $0,1,2,3$ 分类讨论，所有可能的替补方案是

$$1+11^{2}+11^{2}\cdot 11 \cdot 10+11^{2} \cdot 11 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 9=122+11^{3}(10+990) \equiv 122\pmod {1000}.$$