每日一题[2046]暴力消元

设多项式 $f(x)$ 的各项系数都是非负实数，且 $f(1)=f'(1)=f''(1)=f'''(1)=1$．则 $f(x)$ 的常数项的最小值为_______．

答案    B．

解析    设 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n$，其中 $a_i\geqslant 0$（$i=0,1,\cdots,n$），则 $$\begin{cases} a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=1,\\ a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n=1,\\ 2\cdot 1\cdot a_2+3\cdot 2\cdot a_3+\cdots+n\cdot (n-1)\cdot a_n=1,\\ 3\cdot 2\cdot 1\cdot a_3+\cdots+n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot a_n=1,\end{cases}$$ 从而 $$\begin{split} a_3&=\dfrac 16-\dbinom 43 a_4-\cdots-\dbinom n{3}a_n,\\ a_2&=\dfrac 12-\dbinom 32 a_3-\dbinom 42a_4-\cdots-\dbinom n2a_n,\\ a_1&=1-\dbinom 21a_2-\dbinom 31a_3-\cdots-\dbinom n1a_n,\\ a_0&=1-a_1-a_2-\cdots-a_n,\end{split}$$ 于是 $$\begin{split} a_0&=a_2+\dbinom 21 a_3+\cdots+\dbinom {n-1}1a_n\\ &=\dfrac 12-a_3-\left(\dbinom 42-\dbinom 31\right)a_4-\cdots-\left(\dbinom n2-\dbinom {n-1}1\right)a_n\\ &=\dfrac 12-a_3-\dbinom 32a_4-\cdots+\dbinom {n-1}2a_n\\ &=\dfrac13+\left(\dbinom 43-\dbinom 32\right)a_4+\cdots+\left(\dbinom n3-\dbinom {n-1}2\right)a_n\\ &=\dfrac 13+\dbinom 33a_4+\cdots+\dbinom {n-1}3a_n\\ &\geqslant \dfrac 13,\end{split}$$ 等号当 $a_4=a_5=\cdots=a_n=0$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac 13$．

备注    利用 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的泰勒展开容易完成构造： $$f(x)=1+1\cdot (x-1)+\dfrac 12\cdot (x-1)^2+\dfrac 16\cdot (x-1)^3+a_4\cdot (x-1)^4+\cdots+a_n\cdot (x-1)^n,$$ 即 $$f(x)=\dfrac 13+\dfrac x2+\dfrac{x^3}6+a_4\cdot (x-1)^4+\cdots+a_n\cdot (x-1)^n.$$