每日一题[1907]零点比较

下列多项式中实根最大的是（       ）

A．$x^{19}+2018x^{11}+1$

B．$x^{17}+2018x^{11}+1$

C．$x^{19}+2018x^{13}+1$

D．$x^{17}+2018x^{13}+1$

E．$2019x+2018$

答案    B．

解析    设 $x^{17}+2018x^{11}+1=0$ 的实根为 $m$，易得 $m\in \left(-1,-\dfrac 12\right)$，且

$$\begin{cases} f(x)=x^{19}+2018x^{11}+1,\\ g(x)=x^{19}+2018x^{13}+1 ,\\ h(x)=x^{17}+2018x^{13}+1,\end{cases}\implies\begin{cases} f(m)=m^{19}-m^{17}>0,\\ g(m)=-m^2+1>0,\\ h(m)=2018\left(m^{13}-m^{11}\right)>0,\end{cases}$$ 因此 $f(x),g(x),h(x)$ 的实根都小于 $m$，进而 $x^{17}+2018x^{11}+1$ 的实根是五个选项中最大的．