每日一题[1861]阿波罗尼斯圆

已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 是互相垂直的单位平面向量，平面向量 $\overrightarrow c$ 满足 $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b-\overrightarrow c\right|=\dfrac 12$，则 $2\left|\overrightarrow c-\overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a\right|$ 的最小值为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt {15}}2$

B．$\sqrt{15}$

C．$\dfrac{\sqrt{17}}2$

D．$\sqrt{17}$

答案    C．

解析    转化问题，已知单位正方形 $ABCD$，$P$ 在以 $C$ 为圆心 $\dfrac 12$ 为半径的圆上运动，求 $2PB+PD$ 的最小值．根据阿波罗尼斯圆的定义，设点 $D'$ 在直线 $CD$ 上，且 $DC,\dfrac 12,D'C$ 成公比为 $\dfrac 12$ 的等比数列，从而 $D'C=\dfrac 14$，如图．

此时有

$$2PB+PD=2(PB+PD')\geqslant 2BD'=2\sqrt{1^2+\left(\dfrac 14\right)^2}=\dfrac{\sqrt{17}}2,$$ 当 $P$ 位于线段 $BD'$ 与圆 $C$ 的交点位置时取得等号，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt{17}}2$．