每日一题[1767]反向柯西

若 ${\log_4}(x+2y)+{\log_4}(x-2y)=1$，则 $|x|-|y|$ 的最小值为_______．

答案    $\sqrt 3$．

解析    根据题意，点 $P(x,y)$ 在双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 的右支上．由图形的对称性，只需要考虑 $y\geqslant 0$ 的情形，设 $x=\dfrac{2}{\cos\theta}$，$y=\tan\theta$，其中 $\theta\in \left[0,\dfrac{\pi}2\right)$，则

$$|x|-|y|=\dfrac{2-\sin\theta}{\cos\theta}\geqslant \dfrac{\sqrt{2^2-1^2}\cdot \sqrt{1-\sin^2\theta}}{\cos\theta}=\sqrt 3,$$ 等号当 $\theta=\dfrac{\pi}2$ 取得，因此所求最小值为 $\sqrt 3$．