每日一题[1655]规划

在一个圆上随机取三点，则以这三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率等于_______．

答案    $\dfrac 14$．

解析    不妨设 $\triangle ABC$ 是半径为 $1$ 的圆的任一内接三角形，$\angle A$，$\angle B$ 所对的弧长分别为 $x,y$，则有

$$\begin{cases}0<x<2\pi,\\ 0<y<2\pi ,\\ 0<x+y<2\pi.\end{cases}$$ 这个不等式组表示如图所示的 $\triangle POQ$ 区域（不含边界），其面积为 $S_{1}=2\pi^{2}$．若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，则 $x,y$ 满足 $$\begin{cases}0<x<\pi,\\ 0<y<\pi,\\ \pi<x+y<2\pi.\end{cases}$$ 这个不等式组表示如图所示的 $\triangle DEF$ 区域（不含边界）．

其中 $D,E,F$ 分别为 $OP,OQ,PQ$ 的中点，其面积为 $S_{2}=\dfrac{1}{2}\pi^{2}$．故所求的概率

$$p=\dfrac{S_{2}}{S_{1}}=\dfrac{1}{4}.$$

备注    也可以利用等边三角形内的一点作三边的平行线得到的 $Y$ 形的三条线段之和为定值进行构造．