每日一题[1441]完全平方数

求证：各项均为正整数且有一项为完全平方数的无穷等差数列中必然有无穷多项为完全平方数．

解析 问题等价于

新问题 对任意 $n,d\in\mathbb N^{\ast}$，存在 $m\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $m>n$，使得 $d \mid m^2-n^2$．

解 取 $m=n+d$，则

$$m^2-n^2=d(2n+d),$$ 于是 $$d\mid m^2-n^2,$$ 因此命题成立．