设二次函数$f(x)=x^2+bx+c$，若对任意的实数$b$，都存在实数$x\in [1,2]$，使得不等式$|f(x)|\geqslant x$成立，求实数$c$的取值范围．
分析与解 考虑问题的反面，也即“存在实数$b$，使得对任意$x\in [1,2]$，不等式$|f(x)|<x$成立”．由于$$\forall x\in [1,2],|f(x)|<x,$$即$$\forall x \in [1,2],-1<x+\dfrac cx+b<1,$$于是问题的反面等价于函数$g(x)=x+\dfrac cx,x\in [1,2]$的值域“宽度”小于$2$．
情形一 当$c>4$时，限制条件为$g(1)-g(2)<2$，解得$4<c<6$．
情形二 当$1\leqslant c\leqslant 4$时，限制条件为$$\begin{cases} g(2)-2\sqrt c<2,\\g(1)-2\sqrt c<2,\end{cases} $$解得$1\leqslant c\leqslant 4$．
情形三 当$c<1$时，限制条件为$g(2)-g(1)<2$，解得$-2<c<1$．
综上所述，问题的反面对应的$c$的取值范围是$(-2,6)$，于是所求的$c$的取值范围是$(-\infty,-2]\cup [6,+\infty)$．