每日一题[656]合理引入参数

已知$\triangle ABC$的三边$a,b,c$成等差数列，且$a^2+b^2+c^2=21$，则$b$的取值范围是______．

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分析与解　不妨设$a-c=2m\geqslant 0$，则$a=b+m$，$c=b-m$，且

$$\begin{cases} (b+m)^2+b^2+(b-m)^2=21,\\ b>2m,\end{cases}$$ 由第一个方程解得$2m^2=21-3b^2$，于是 $$\begin{cases} b^2>4m^2=42-6b^2,\\ 21-3b^2=2m^2\geqslant 0,\end{cases}$$ 解得$b$的取值范围是$\left(\sqrt 6,\sqrt 7\right]$．