每日一题[473]梅涅劳斯定理

在$\triangle ABC$中，$AB=2$，$AC=3$，角$A$的平分线$AD$与$AB$边上的中线$CM$的交点为$O$，若$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则$x+y=$_______．

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法一

根据向量分解的系数和与比的几何意义可得

$$x+y=\dfrac{AO}{AD},\dfrac xy=\dfrac{CD}{BD}.$$

由角平分线定理可得

$$\dfrac xy=\dfrac{CD}{BD}=\dfrac 32,$$ 进而对$\triangle ABD$和截线$MCO$应用梅涅劳斯定理可得 $$\dfrac{AM}{MB}\cdot\dfrac{BC}{CD}\cdot\dfrac{DO}{OA}=1,$$ 于是$\dfrac{DO}{OA}=\dfrac 35$，因此$x+y=\dfrac 58$．

法二

由角平分线定理可得$\dfrac{MO}{OC}=\dfrac 13$，于是

$$\overrightarrow{AO}=\dfrac 34\overrightarrow{AM}+\dfrac 14\overrightarrow{AC}=\dfrac 38\overrightarrow{AB}+\dfrac 14\overrightarrow{AC},$$ 因此$x+y=\dfrac 58$．

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