每日一题[63] Ptolemy定理

已知\(F\)为椭圆\(\dfrac{x^2}5+y^2=1\)的右焦点，第一象限内的点\(M\)在椭圆上，若\(MF\)与\(x\)轴垂直，直线\(MN\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切于第四象限内的点\(N\)，则\(NF\)的长度为_______．

正确答案是\(\dfrac{\sqrt{21}}{3}\)．

解　如图，半通径\(MF=\dfrac{b^2}{a}=\dfrac{1}{\sqrt 5}\)，\(OF=2\)，\(OM=\sqrt{\dfrac{21}5}\)，\(ON=1\)，\(MN=\dfrac{4}{\sqrt 5}\)．

于是由Ptolemy定理\[OM\cdot NF+ON\cdot MF=OF\cdot MN,\]代入数据计算可得\[NF=\dfrac{\sqrt{21}}{3}.\]

注    Ptolemy定理即圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，可以由下图证得．作三角形\(ABC\)与三角形\(AMD\)相似，则三角形\(ACD\)与三角形\(ABM\)相似，于是有\[BC\cdot AD=AC\cdot MD,\\AB\cdot CD=AC\cdot BM,\]两式相加即得．

有趣的是，当将\(A,B,C,D\)四点共圆的条件改为共线时，命题仍然成立（称为欧拉定理）．