每日一题[30] 构造函数

已知函数\[f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\]其中\(a,b,c,d\)为实常数，\(f(x)\)的图象经过三点\(A\left(2,\dfrac 12\right)\)，\(B\left(3,\dfrac 13\right)\)，\(C\left(4,\dfrac 14\right)\)，求\(f(1)+f(5)\)的值．

令\(g(x)=xf(x)-1\)，则\(x=2,3,4\)是其零点且\(g(x)\)是一个五次多项式函数．

于是\[xf(x)-1=(x-2)(x-3)(x-4)\left(x^2+px+q\right).\]

令\(x=0\)可得\[q=\dfrac 1{24}\qquad\cdots (1).\]

分别令\(x=1,5\)可得\[\begin{split}f(1)-1&=-6(1+p+q)\\5f(5)-1&=6(25+5p+q)\end{split}\]

进而可得\[\begin{split}f(1)&=-6p-6q-5\\f(5)&=6p+\dfrac 65q+30+\dfrac 15\end{split}\]两式相加，将（1）代入，有\[f(1)+f(5)=25.\]

点评    本题的关键是设法利用代数基本定理，通过零点构造多项式函数．下面给出一道练习题：

构造二次函数\(f(x)\)，使\[\begin{cases}f(a)=bc\\f(b)=ca\\f(c)=ab\end{cases}\]其中\(a,b,c\)为互不相等的实数．

答案    \(f(x)=x^2-(a+b+c)x+(ab+bc+ca)\)．