首先，祝大家情人节快乐！
在我看来，数学能力由相辅相成的的两部分组成：偏感性的直觉、观察能力、创造思维、发散思维；偏理性的验证、运算能力、逻辑思维、聚焦思维．今天带来一道同时融合几何观察与代数运算的试题．
在平面直角坐标系\(xOy\)的第一象限有点\(P\)，满足\(OP=1\)且直线\(OP\)的倾斜角为\(30^\circ\)，过\(P\)任意作一条直线分别交\(x\)轴正半轴、\(y\)轴正半轴于点\(M\)、\(N\)，求\(OM+ON-MN\)的最大值．
不难发现并证明，当\(P\)点为三角形\(MON\)的内切圆与边\(MN\)的切点时，\(OM+ON-MN\)取得最大值．设三角形\(MON\)内切圆的圆心为\(C(r,r)\)，而\(P(\cos 30^\circ,\sin 30^\circ)\)，于是
\[(r-\cos 30^\circ)^2+(r-\sin 30^\circ)^2=r^2,\]
化简有
\[r^2-2(\sin 30^\circ+\cos 30^\circ)r+1=0,\]
解得
\[r=\sin 30^\circ+\cos 30^\circ-\sqrt{\sin 60^\circ},\]
从而题中所求为
\[2r=1+\sqrt 3-\sqrt[4]{12}.\]
补充 用类似的想法可以把题中的\(30^\circ\)推广到一般情形，并求出最大值取值范围，想想看应该怎样求？
答案为
\[m(\theta)=2\left(\sin\theta+\cos\theta-\sqrt{\sin 2\theta}\right),\]
取值范围为\(\left[2\left(\sqrt 2-1\right),2\right)\)．其中$\theta$的范围在$\left(\arctan\dfrac 12,\arctan 2\right)$．
怎么证明。。