垂心内心纠缠不清

如图，锐角$\triangle ABC$的垂心为$H$，三条高的垂足分为$D,E,F$，则$H$是$\triangle DEF$的$\underline{\qquad}$心．

答案    内心

分析    三角形的垂心是三角形三边高所在的直线的交点，常用来判定四点共圆以及构造三角形相似．
如图所示，由$H$为$\triangle ABC$的垂心，易得$A,E,H,F$四点共圆，则 $$\angle HAE=\angle HFE,\ \angle FAH=\angle FEH;$$ 同理可得 $$\angle HBD=\angle HFD,\ \angle FBH=\angle FDH;\\ \angle HCD=\angle HED,\ \angle ECH=\angle EDH.$$ 亦由$H$为$\triangle ABC$的垂心，可得$\triangle HAE \sim \triangle HBD$，则 $$\angle HAE=\angle HBD;$$ 同理可得 $$\angle FAH=\angle HCD;\ \angle FBH=\angle ECH.$$
$\therefore \angle DFH=\angle EFH$，$\angle FDH=\angle EDH$，$\angle DEH=\angle FEH$．
$\therefore H$为$\triangle DEF$的内心．

注    由本题可得：锐角三角形的垂心是其垂足三角形的内心．

练习1    求证：三角形垂心关于边的对称点在外接圆上．

提示    如图所示，延长$AD$交$\triangle ABC$外接圆于点$H'$，则 $$\triangle AH'C=\angle ABC=\angle ABE+\angle CBE=\angle ACF+\angle CAD=\angle CHH',$$ 所以$CH=CH'$，即得证．

练习2    如图，设锐角$\triangle ABC$的三条高$AD,BE,CF$相交于$H$，若$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，则$AH \cdot AD+BH \cdot BE +CH \cdot CF$的值为$\underline{\qquad}$．
答案    $\dfrac 12\left(a^2+b^2+c^2\right)$．

提示    如图由$B,D,H,F$四点共圆以及圆幂定理，可得 $$AF \cdot AB=AH \cdot AD;$$ 同理可得 $$\begin{split}&AH \cdot AD=AE \cdot AC;\\&CE \cdot CA=CH \cdot CF=CD \cdot CB;\\&BD \cdot BC=BH \cdot BE=BF \cdot BA.\end{split}$$ 从而得到 $$AH \cdot AD+BH \cdot BE +CH \cdot CF=\dfrac 12\left(a^2+b^2+c^2\right).$$