2026年9月深圳中学开学摸底数学考试#14
已知 $A,B,C$ 是边长为 $1$ 的正六边形边上相异的三点，则 $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ 的最小值为 _____．
答案 $-\dfrac 9{16}$．
解析 冻结 $B,A$，考虑 $\overrightarrow{BC}$ 在 $\overrightarrow{BA}$ 方向上的投影，可得当 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ 最小时，$C$ 位于正六边形顶点；同理可得，当 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ 最小时，亦有 $A$ 位于正六边形顶点．
不妨设 $A=P_1$，考虑到对称性，只需要考虑 $C=P_2,P_3,P_4$ 的情形．
当 $C=P_2$ 时，有 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}\geqslant 0$．
当 $C=P_3$ 时，设 $P_1P_3$ 的中点为 $M$，则\[\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|BM|^2-\frac14|P_1P_3|^2=|BM|^2-\frac 34\geqslant d^2(M,P_1P_2)-\frac 34=-\frac9{16},\]等号当 $B$ 位于 $P_1P_2$ 的靠近 $P_2$ 的四等分点时取得．
当 $C=P_4$ 时，设 $P_1P_4$ 的中点为 $ O$（即正六边形的中心），则\[\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|BO|^2-\frac14|P_1P_4|^2=|BO|^2-1\geqslant d^2(O,P_2P_3)-1=-\frac14,\]等号当 $B$ 位于 $P_2P_3$ 中点时取得．
综上所述，所求最小值为 $-\frac{9}{16}$．
备注 取 $A,B,C$ 是相邻的顺次三个顶点，有 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-\frac 12$，因此只需要考虑 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}<0$ 的情形．