2026年9月深圳中学开学摸底数学考试#10
已知圆锥 $SO$（$O$ 是底面圆的圆心，$S$ 是圆锥的顶点）底面半径为 $1$，母线长为 $\sqrt 3$．若 $P,Q$ 为底面圆周上任意不同两点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥 $O-SPQ$ 体积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}6$
B．三角形 $SPQ$ 面积的最大值为 $\dfrac 3 2$
C．当 $\angle POQ=60^{\circ}$ 时，平面 $SPQ$ 与平面 $SOQ$ 夹角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt{22}}{11}$
D．四面体 $SOPQ$ 外接球表面积恒大于 $3\pi$
答案 ACD．
解析 圆锥的底面半径 $r=1$，母线长 $l=\sqrt 3$，高 $h=\sqrt 2$．
对于选项 $\boxed{A}$，三棱锥 $O-SPQ$ 的体积\[[O-SPQ]=[S-OPQ]=\frac 13\cdot [\triangle OPQ]\cdot |SO|= \frac 13\cdot \left(\frac 12\cdot\sin\angle POQ\cdot |OP|\cdot |OQ|\right)\cdot |SO|\leqslant \frac16r^2h=\frac{\sqrt 2}6,\]选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，圆锥轴截面顶角为锐角，因此三角形 $SPQ$ 的最大面积即轴截面面积，为 $\sqrt 2$，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，根据三射线定理，二面角 $O-SQ-P$ 的大小 $\varphi$ 满足\[\cos\angle POQ=\cos\angle SQP\cos\angle SQO+\sin\angle SQP\sin\angle SQO\cos\varphi,\]即\[\frac 12=\frac{1}{2\sqrt 3}\cdot \frac{1}{\sqrt 3}+\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt 3}\cdot \frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}\cos\varphi,\]解得 $\cos\varphi=\frac{\sqrt{22}}{11}$，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，设 $\angle POQ=2\theta$，$\theta\in \left(0,\frac \pi2\right)$，则 $\triangle POQ$ 的外接圆半径\[r_0=\frac{|PQ|}{\sin2\theta}=\frac{2r\sin\theta}{\sin2\theta}=\frac{r}{2\cos\theta},\]由于 $SO\perp OPQ$，于是四面体 $SOPQ$ 的外接球球心 $O_0$ 到底面 $OPQ$ 的距离为 $\frac 12h$，因此外接球半径 $R$ 满足\[R^2=r_0^2+\left(\frac 12h\right)^2=\frac{r^2}{4\cos^2\theta}+\frac 14h^2>\frac{r^2+h^2}4=\frac{l^2}4,\]因此外接球表面积 $4\pi R^2>l^2\pi=3\pi$，选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．