已知函数 $f(x)=(2a+b)x^2+(5a+2b+1)x+a+1$ 在区间 $\left[\frac14,\frac 12\right]$ 上有零点，则 $3a^2+2ab+b^2$ 的最小值是_____．
答案 $\dfrac 8{19}$．
解析 注意到 $3a^2+2ab+b^2=\left(\sqrt 2a\right)^2+(a+b)^2$，于是问题等价于已知函数\[f(x)=\left(\frac{1}{\sqrt 2}a+b\right)x^2+\left(\frac{3}{\sqrt 2}a+2b+1\right)x+\frac{1}{\sqrt 2}a+1\]在区间 $ \left[\frac14,\frac 12\right]$ 上有零点，求 $a^2+b^2$ 的最小值．设 $f(x)$ 的零点为 $t$，则\[\frac{t^2+3t+1}{\sqrt 2}a+(t^2+2t)b+(t+1)=0,\]视其为坐标平面 $aOb$ 上的直线系 $l_t$，其中参数 $t\in\left[\frac14,\frac12\right]$，目标函数为直线 $l_t$ 上的点 $P(a,b)$ 到原点距离的平方 $OP^2$．根据点到直线的距离公式，有\[OP^2\geqslant \frac{(t+1)^2}{\left(\frac{t^2+3t+1}{\sqrt 2}\right)^2+(t^2+2t)^2}=\frac{s^2}{3s^4+2s^3-5s^2-2s+3}=\frac{1}{3\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)+2\left(s-\frac 1s\right)-5},\]其中 $s=t+1$，进而令 $u=s-\frac 1s$，分式分母变为 $3u^2+2u+1$，而 $s$ 的取值范围是 $\left[\frac 54,\frac 32\right]$，因此分母关于 $t$ 单调递增，于是当 $t=\frac 12$ 时代数式取得最小值为 $\frac 8{19}$．
备注 直线 $l_t$ 过定点 $T\left(-\sqrt 2,1\right)$．