某气象观测网在沿海某干线上部署了 $n$（$n\geqslant 3$，$n\in\mathbb Z$）个自动气象站，按照自南向北依次编号为 $1,2,\cdots,n$．为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令．每次指令均从这 $n$ 个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）．记第一次指令选中的气象站的编号为 $X$，第二次指令选中的气象站编号为 $Y$．
1、若两次指令选中同一个气象站，则会引发数据重载；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为顺向传输．请分别计算触发数据重载与顺向传输的概率；
2、为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况；将 $X$ 与 $Y$ 中的较大值记为 $U$（即相对偏北的站点编号），将 $X$ 与 $Y$ 中的较小值记为 $V$（即相对偏南的站点编号）．
① 记两次指令的选中编号之和为 $S$，即 $S=U+V$，求 $E(S)$；
② 定义两次指令的空间跨度 $D=U-V$，证明：$E(D)<\dfrac n 3$．
解析
1、数据重载的概率为 $p_n=\frac1{n^2}$，顺向传输的概率\[q_n=\frac{1-p_n}2=\frac{n^2-1}{2n^2}.\]
2、① 根据题意，有\[E(S)=E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\frac 2n\sum_{i=1}^ni=n+1.\]
② 根据题意，有\[\begin{split} E(D)&=E(|X-Y|)\\ &=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|i-j|\\ &=\frac 1{n^2}\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i}(i-j)+\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^{n}(j-i)\right)\\ &=\frac 1{n^2}\left(\sum_{i=1}^n\frac 12i(i-1)+\sum_{i=1}^n\frac12(n-i)(n-i+1)\right)\\ &=\frac 1{n^2}\sum_{i=1}^n\left(i^2-(n+1)i+\frac 12n(n+1)\right)\\ &=\frac 1{n^2}\left(\frac 16n(n+1)(2n+1)-\frac 12n(n+1)^2+\frac 12n^2(n+1)\right)\\ &=\frac{n^2-1}{3n}\\ &<\frac n3,\end{split}\]命题得证．