2026年3月广东省一模数学试卷#19
甲社区有 $n$ 个女生和 $n$ 个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有 $n$ 个女生 $g_1,g_2,\cdots,g_n$ 和 $2 n-1$ 个男生 $b_1,b_2,\cdots,b_{2 n-1}$，其中女生 $g_i$（$i=1,2,\cdots,n$）认识男生 $b_j$（$j=1,2,\cdots,2 i-1$），但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出 $m$（$m=1,2,\cdots,n$）队选手参加社区比赛，每队选手均为 $2$ 人．
1、若 $n=3$，$m=1$，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；
2、若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的 $m$ 队的不同的选法种数为 $A_n(m)$ 和 $B_n(m)$．
① 证明递推公式：当 $2\leqslant m\leqslant n-1$ 时，有\[A_n(m)=A_{n-1}(m)+(2 n-m) A_{n-1}(m-1),\]并求 $A_n(m)$；
② 若乙社区将选出的 $m$ 个男生和 $m$ 个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率．
解析
1、根据题意，所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率为\[ \dfrac{\binom 32\binom 32+\binom 32+\binom 52}{\binom 62\binom 82}=\dfrac {3\cdot 3+3\cdot 10}{15\cdot 28}=\frac{13}{140}.\]
2、① 考虑 $A_n(m)$． 若 $g_n$ 被选中，则选法数为 $nA_{n-1}(m-1)$； 若 $g_n$ 没有被选中，则 $b_n$ 被选中的选法数为 $(n-m)A_{n-1}(m-1)$；$b_n$ 没被选中的选法数为 $A_{n-1}(m)$； 因此\[\begin{split} A_n(m)&=nA_{n-1}(m-1)+(n-m)A_{n-1}(m-1)+A_{n-1}(m)\\ &=A_{n-1}(m)+(2n-m)A_{n-1}(m-1),\end{split}\]命题得证．
② 考虑 $B_n(m)$． 若 $g_n$ 被选中，则选法数为\[\big((2n-1)-(m-1)\big)B_{n-1}(m-1)=(2n-m)B_{n-1}(m-1),\] 若 $g_n$ 没有被选中，则选法数为 $B_{n-1}(m)$； 因此\[\begin{split} B_n(m)&=(2n-m)B_{n-1}(m-1)+B_{n-1}(m)\\ &=B_{n-1}(m)+(2n-m)B_{n-1}(m-1),\end{split}\]又初值\[A_n(1)=n^2,\quad B_n(1)=1+3+\cdots+(2n-1)=n^2,\]因此 $A_n(m),B_n(m)$ 的初值和递推关系一致，因此 $B_n(m)=A_n(m)$，所求概率为\[\dfrac{\binom nm\binom nm\cdot m!}{\binom nm \binom{2n-1}m\cdot m!}=\dfrac{\binom nm}{\binom{2n-1}m}.\]