2026年3月广东省一模数学试卷#18
设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的离心率为 $2$，其左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于点 $M,N$．当 $MN$ 与 $x$ 轴垂直时，$|MN|=6$．
1、求双曲线 $C$ 的标准方程；
2、求 $\left|MF_2\right|\cdot\left|NF_2\right|$ 的最小值；
3、记 $\triangle F_1 MN$ 的内切圆 $P$ 与双曲线 $C$ 的一个公共点为 $Q$，双曲线 $C$ 的左顶点为 $A$，证明：$\angle APQ=2\angle F_2 PQ$．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} \frac{2b^2}a=6,\\ \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=2,\end{cases}\iff \begin{cases} a=1,\\ b=\sqrt 3,\end{cases}\]于是双曲线 $C$ 的标准方程为 $x^2-\frac{y^2}3=1$．
2、根据双曲线的焦半径的调和平均性质，有\[\frac 23=\dfrac{1}{|MF_2|}+\dfrac{1}{|NF_2|}\geqslant \dfrac{2}{\sqrt{|MF_2|\cdot |NF_2|}}\implies |MF_2|\cdot |NF_2|\geqslant 9,\]等号当 $|MF_2|=|NF_2|$ 即 $l$ 与 $x$ 轴垂直时取得，因此所求最小值为 $9$．
3、设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，根据双曲线的光学性质，点 $P$ 为双曲线 $C$ 在 $M,N$ 处的切线的公共点，联立切线 $PM,PN$，有\[\begin{cases} x_1x-\frac{y_1y}3=1,\\ x_2x-\frac{y_2y}3=1,\end{cases}\iff \begin{cases} x=\frac{y_2-y_1}{x_1y_2-x_2y_1},\\ y=-3\cdot \frac{x_2-x_1}{x_2y_1-x_1y_2}\end{cases}\]
设 $MN:x=ty+2$，则根据截距坐标公式，有\[\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1}=2,\quad \dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2-x_1}=-\frac 2t,\]从而 $P\left(\frac 12,\frac 32t\right)$，进而 $PF_2\perp MN$，于是 $F_2$ 在内切圆上 $^{[1]}$，考虑对称性，可得 $A(-1,0)$ 也在内切圆上．设 $Q$ 关于直线 $x=\frac 12$ 的对称点为 $Q'$，且 $QQ'$ 的中点为 $H$，则 $\angle APF=\angle F_2PQ$，因此\[\angle APQ=2\angle F_2PQ\impliedby \angle Q'PQ=\angle F_2PQ\impliedby |QQ'|=|QF_2|\impliedby |QH|=\frac 12|QF_2|,\]根据双曲线的第二定义，命题得证．