2026年3月江苏苏北七市二模数学试卷#14
已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右焦点为 $F$，$A$ 是 $C$ 右支上一点，$A$ 关于原点和 $x$ 轴对称的点分别为 $D,E$，$EF\parallel AD$，$\angle AFE=120^{\circ}$，则 $C$ 的离心率为 _____．
答案 $\sqrt 3+1$．
解析 设 $A(x_0,y_0)$，双曲线的半焦距为 $c$，根据题意，有 $\angle AFO=60^\circ$，于是\[\begin{cases} EF\parallel AD,\\ \angle AFO=60^\circ,\end{cases}\iff \begin{cases} \frac{y_0}{x_0}=\frac{y_0}{c-x_0},\\ y_0=\sqrt 3(c-x_0),\end{cases}\iff \begin{cases} x_0=\frac 12c,\\ y_0=\frac{\sqrt 3}2c.\end{cases}\]
设 $a^2+b^2=c^2=1$，$t=\frac{b^2}{a^2}$，双曲线 $C$ 的离心率 $e=\sqrt{1+t}$，则\[\dfrac{\frac14c^2}{a^2}-\dfrac{\frac 34c^2}{b^2}=1\implies \left(\frac{1}{a^2}-\frac{3}{b^2}\right)(a^2+b^2)=4\implies -2+t-\frac 3t=4\implies t=3+2\sqrt 3,\]于是 $e=\sqrt 3+1$．