2026年3月江苏苏北七市二模数学试卷#11
已知函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac 1 n,&\dfrac 1{n+1}<x\leqslant\dfrac 1 n,n\in\mathbb N^{\ast},\\n,& n\leqslant x<n+1,n\in\mathbb N^{\ast},\end{cases}$ 则下列说法正确的是（ ）
A．若 $a,b$ 为正数，$a b=1$，则 $f(a) f(b)=1$
B．若 $a,b$ 为正数，$f(a) f(b)=1$，则 $a b=1$
C．若 $\alpha\in(1,+\infty)$，则函数 $g(x)=f(x)-x^{\alpha}$ 有唯一零点
D．若 $\alpha\in(0,1)$，则函数 $g(x)=f(x)-x^{\alpha}$ 的零点个数为奇数
答案 ACD．
解析 根据题意，有\[\begin{cases} f(s)=n,\\ f(t)=\frac 1n,\end{cases}\iff\begin{cases} n\leqslant s<n+1,\\ \frac{1}{n+1}<t\leqslant \frac 1n,\end{cases}\]于是 $f(t)\cdot f\left(\frac 1t\right)=1$，选项 $\boxed{A}$ 正确，且若 $f(s)\cdot f(t)=1$，则 $st$ 的取值范围是 $\left(\frac 12,2\right)$，不能确定 $st=1$（如 $(n,s,t)=(1,1.5,1)$），选项 $\boxed{B}$ 错误．
对于选项 $\boxed{C}$，当 $x>1$ 时，若 $f(x)=n$，则\[n\leqslant x<n+1\iff n^\alpha\leqslant x^\alpha<(n+1)^\alpha\implies x^\alpha\geqslant n^\alpha>n=f(x),\]且\[g\left(\frac 1x\right)=\dfrac{1}{f(x)}-\dfrac{1}{x^\alpha}=\dfrac{g(x)}{f(x)\cdot x^\alpha}>0,\]因此函数 $g(x)$ 在 $x\in (0,1)\cup (1,+\infty)$ 没有零点；又 $g(1)=0$，所以函数 $g(x)$ 有唯一零点 $x=1$；
对于选项 $\boxed{D}$，当 $x> 2^{\frac{1}{1-\alpha}}$ 时，有\[g(x)=f(x)-x^\alpha>x-1-x^{\alpha}=x^\alpha \left(x^{1-\alpha}-\dfrac1{x^\alpha}-1\right)>x^\alpha\left(x^{1-\alpha}-2\right)>0,\]又\[g\left(\frac 1x\right)=\dfrac{g(x)}{f(x)\cdot x^\alpha},\]于是 $g(x)$ 的零点个数有限，且除 $x=1$ 外的零点（如果存在）成对出现，因此选项正确．
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．