已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$ a_{n+1}=\ln \left(\mathrm e^{a_n}-1\right)-\ln a_n$，则（ ）
A．$\mathrm e^{a_2}=\mathrm e-1$
B．$a_{n+1}>a_n$
C．$ a_2<4 a_4$
D．$a_{2026}>\dfrac{1}{2025}$
答案 AC．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，令 $n=1$，可得 $a_2=\ln(\mathrm e-1)$，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，设 $f(x)=\ln\dfrac{\mathrm e^x-1}{x}$，则根据琴生不等式，有\[\dfrac x2=\int_0^1\ln\mathrm e^{tx}{ {\rm d}} t<f(x)=\ln \int_0^1\mathrm e^{tx}{ {\rm d}} t<\ln \int_0^1\mathrm e^{x}{ {\rm d}} t=x,\]因此 $\{a_n\}$ 递减且 $a_{n+1}>\dfrac 12a_n$，选项 $\boxed{B}$ 错误，选项 $\boxed{C}$ 正确；
对于选项 $\boxed{D}$，有\[\dfrac{f(x)}{x}<\dfrac{\frac{\mathrm e^x-1}{x}-1}{x}=\dfrac{\mathrm e^x-x-1}{x^2},\]设右侧函数为 $g(x)$，则其导函数\[g'(x)=\dfrac{(x-2)\mathrm e^x+x+2}{x^3},\]根据指数函数的进阶放缩，$g(x)$ 单调递增，于是\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant \dfrac{\mathrm e^x-x-1}{x^2}\Bigg|_{x=1}=\mathrm e-2,\]进而\[a_{2026}<(\mathrm e-2)^{2025}<\dfrac{4^{2025}}{(1+4)^{2025}}<\dfrac{4^{2025}}{4^{2025}+2025\cdot 4^{2024}+\binom{2025}{2}\cdot 4^{2023}}=\dfrac{1}{1+\frac{2025}4+\frac{2025\cdot 2024}{2\cdot 1\cdot 4^2}}<\dfrac{1}{2025},\] 选项正确错误；
综上所述 $^{[1]}$，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$．
$[1]$ 总的来说，就是研究函数 $\varphi(x)=\dfrac{f(x)}{x}$，该函数在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，且值域为 $\left(\dfrac 12,1\right)$．