2026年1月江苏南京盐城高三一模数学#18
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，且过点 $\left(\sqrt 3,\dfrac 1 2\right)$．
1、求椭圆 $E$ 的标准方程；
2、若 $A\left(-\dfrac 3 2,0\right),B\left(\dfrac 3 2,0\right)$，$M,N$ 为椭圆 $E$ 上两点（均在 $x$ 轴上方），且 $AN\parallel BM$．
① 已知直线 $AN$ 的斜率为 $\dfrac{2}{3}$，求直线 $MN$ 的斜率；
② 求四边形 $ABMN$ 面积的最大值．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt 3}2,\\ \dfrac{(\sqrt 3)^2}{a^2}+\dfrac{\left(\frac 12\right)^2}{b^2}=1,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=4,\\ b^2=1,\end{cases}\]因此椭圆 $E$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．
2、设 $M,N$ 关于原点的对称点分别为 $M_1,N_1$，则四边形 $MNM_1N_1$ 是中心为 $O$ 的平行四边形，如图．
① 由于 $N,N_1$ 关于原点 $O$ 对称，于是根据椭圆的垂径定理，直线 $MN,MN_1$ 的斜率之积为 $e^2-1$，即\[k_{MN}\cdot k_{MN_1}=\left(\dfrac{\sqrt 3}2\right)^2-1\implies k_{MN}\cdot k_{NA}=-\dfrac 14\implies k_{MN}=-\dfrac 38.\]
② 设伸缩变换 $x'=x$，$y'=2y$，则椭圆变为半径 $r=2$ 的圆，设 $M,N_1,O,B$ 的对应点分别为 $M',N_1',O,B$，则根据题意，四边形 $ABMN$ 的面积\[ \begin{split} [ABMN]&=\dfrac 12[MNM_1N_1]=\dfrac 12\cdot \left(4\cdot [\triangle OMN_1]\right)=2[\triangle OMN_1]\\ &=[\triangle OM'N_1']=\dfrac 12\sin\angle M'ON_1'\cdot |OM'|\cdot |ON_1'|=\dfrac 12\sin\angle M'ON_1'\cdot r^2\\ &=2\sin\angle M'ON_1'\leqslant 2,\end{split}\]等号当 $\angle M'ON_1'=\dfrac{\pi}2$ 时取得（由于 $|OB|=\dfrac 32>\dfrac{\sqrt 2}2r$，所以条件可以达成），因此所求面积的最大值为 $2$．