已知函数 $f(x)$ 图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依次成等比数列，则 $f(x)$ 可以是（ ）
A．$f(x)=\tan x$
B．$f(x)=\mathrm e^x+1$
C．$f(x)=x^2+x$
D．$f(x)=\ln x$
答案 ACD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，考虑 $g(x)=f^2(x)-f\left(x-\dfrac{\pi}{12}\right)\cdot f\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)$，则\[g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0,\]选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，考虑 $g(x,a)=f^2(x)-f(x-a)\cdot f(x+a)$（$a\ne 0$），则\[ g(x,a)=\left(\mathrm e^x+1\right)^2-\left(\mathrm e^{x-a}+1\right)\cdot \left(\mathrm e^{x+a}+1\right)=\mathrm e^x\left(2-\mathrm e^a-\mathrm e^{-a}\right)<0,\]选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，考虑 $g(x,a)=f^2(x)-f(x-a)\cdot f(x+a)$，则\[g(x,a)=(x^2+x)^2-\left((x-a)^2+(x-a)\right)\cdot \left((x+a)^2+(x+a)\right)=a^2(2x^2+2x-a^2+1),\]有零点 $(x,a)=(1,\sqrt 5)$，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，考虑 $g(x,a)=f^2(x)-f(x-a)\cdot f(x+a)$，则\[g(x,a)=\ln ^2 x-\ln (x-a)\cdot \ln (x+a),\]当 $a\to x$ 且 $x+a<1$ 时，$g(x,a)\to -\infty$；当 $a\to 0$ 时，$g(x,a)\to 0$，而\[g'_a(x,a)=\dfrac{(x+a)\ln(x+a)-(x-a)\ln(x-a)}{x^2-a^2},\]分子部分设为 $h(a)$，关于 $a$ 的导函数为\[h'(a)=\ln(x^2-a^2)+2,\quad h'(0)=2\ln x+2,\]于是当 $x\in\left(\dfrac{1}{\mathrm e},\dfrac 12\right)$ 时，在区间 $a\in (0,x)$ 上函数 $g(x,a)$ 存在零点，选项正确；
综上所述，正确的选项为 $ \boxed{A} $ $ \boxed{C} $ $ \boxed{D}$．