已知实数 $x,y$ 满足：$2\leqslant x+y\leqslant 3$，$1\leqslant x+y^2\leqslant 4$，则 ( )
A．$x$ 的最小值为 $0$
B．$y$ 的的最大值为 $2$
C．$(x+y)(x^2+y^2)$ 的最小值为 $2$
D．$(x+y)(x^2+y^2)$ 的最大值为 $12$
答案 ABD．
解析 设 $l_1:x+y=2$，$l_2:x+y=3$，$\Gamma_1:x+y^2=1$，$\Gamma_2:x+y^2=4$，则直线 $l_1,l_2$ 与抛物线 $\Gamma_1$ 相离，直线 $l_1,l_2$ 与抛物线 $\Gamma_2$ 分别相交于 $A_1(0,2),A_2(3,-1)$ 和 $B_1\left(\dfrac{5-\sqrt 5}2,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right),B_2\left(\dfrac{5+\sqrt 5}2,\dfrac{1-\sqrt 5}2\right)$，进而可行域为曲边梯形 $A_1A_2B_2B_1$（其中 $A_1A_2,B_1B_2$ 是平行的线段，$A_2B_1,B_2A_1$ 是抛物线段）内部（包含边界），因此 $x$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac{5+\sqrt 5}2\right]$，$y$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{1-\sqrt 5}2,2\right]$．
对于 $m=(x+y)(x+y^2)$，一方面有\[(x+y)(x+y^2)\leqslant 3\cdot 4=12,\]等号当 $(x,y)=B_1,B_2$ 时取得，因此 $m$ 的最大值为 $12$；另一方面，考虑到 $l_1$ 与 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 没有公共点，因此 $x+y^2=2$ 无法取得，$m$ 的最小值不为 $2$，此时考虑 $x+y=2$，有\[(x+y)(x+y^2)=2\big((2-y)+y^2\big)\geqslant \dfrac 72,\]等号当 $(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac 12\right)$ 时取得，从而 $m$ 的最小值为 $\dfrac 72$．
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．